cuplikan tentang persamaan kuadrat

Standard

# Pengertian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

y = ax^2 + bx + c \,\!

dengan

a \ne 0 \,\!

Huruf-huruf ab dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x^2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

1. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,

 b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.

Apabila:

  1. D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
  2. D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
  3. D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

  1. x2 + 5 x + 2 = 0
  2. x2 – 10 x + 25 = 0
  3. x2 – 4 x + 2 = 0

Jawab :

  1. x2 + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2

D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

  1. x2 – 10 x + 25 = 0

a = 1  , b = -10  ,  c = 25

D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena  D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.

  1. x2 – 4 x + 2 = 0

a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2

D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x2 – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

2.   Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

  1. Persamaan kuadrat   ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.

ax2 + bx + c = 0

x2 + x = 0

Karena  x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Contoh:

Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

  1. x1 + x2 d.
  2. x1.x2 e.   x13 + x23
  3. x12 + x22

Jawab:          x2 – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4

a.   x1 + x2 = 3

b.   x1.x2 = 4

c.   x12 + x22 = x12 + x22 +  2 x1.x2 – 2 x1.x2

= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1

e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23

x13 + 3 x1 x2 (x1 +  x2) + x23

x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)

= 33 – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s